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选择合适的坐标系计算三重积分∫∫∫zDv,其中Ω是由曲...

柱坐标系下进行求解,千万别跟楼上说的用球坐标系,麻烦死,还容易错 刚才检查发现最后一步1/6那块应该是减去1/2r的四次方,最后结果应该是3/8π,不好意思,不懂可追问。

采用柱坐标计算可能要省事些:x=ρcosθ,y=ρsinθ; I=∫∫∫(xy²+z²)dv=∫dz∫∫(ρ³sin²θcosθ+z²)ρdρdθ…………z=1~4,ρ=0~√z,θ=0~2π; =∫dz[∫ρ^4dρ∫sin²θd(sinθ) +z²∫ρdρdθ] =∫dz[0+z²*2π*(ρ²)/2] =∫dz[πz&...

如图所示:

∫(0-2π)dθ∫(0-1)ρdρ∫(ρ2~√2-ρ2)zdz=7π/12

题目:计算三重积分∫∫∫zdv,其中Ω是由曲面z=√(2-x^2-y^2)和z=x^2+y^2.所围成. 首先,z=x^2+y^2是旋转抛物面,而不是圆柱面. 可求得:z=x^2+y^2与球面的交线到XOY面的投影柱面为:x^2+y^2 =1. 故三重积分的积分域可表达为: x^2+y^2

我的解法没有用到柱坐标,具体解法如下:

因为抛物面z = x² + y²是开口向上的,最低点是(0,0,0) 而z = √(2 - x² - y²)是上半球体,顶点(0,0,√2) 所以√(2 - x² - y²) ≥ x² + y² √(2 - r²) ≥ r² ==> 0 ≤ r ≤ 1 ∫∫∫Ω z dV = ∫(0→2π)...

我画图技术也不好,你将就着看一下。这个区域其实是旋转抛物面z=x^2+y^2被柱面y=x^2截下来的那部分,和xoy以及y=1构成的一个区域。底面是xoy面,顶部是z=x^2+y^2的一部分。

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